La Distribucion de Poisson

La Distribución de Poisson

Dentro de los 3 tipos principales de distribuciones de probabilidades está la distribución de Poisson (se pronuncia “Puasó” pues es viene de un nombre escrito originalmente en francés). Es la distribución de Poisson es la que puede describir procesos mediante los cuales existe la ocurrencia de un evento por intervalo de tiempo. El ejemplo clásico para introducir la comprensión de esta distribución de probabilidades es las colas de espera.
Esta distribución de probabilidades fue ampliamente estudiada por el matemático Simeon Denis Poisson (1781-1840) y fue este matemático quien definió que cualquier proceso para ser estudiado bajo esta distribución debe cumplir con características específicas.

1.1            Características de la Distribución de Poisson

Imaginemos las diferentes características que tiene el proceso mediante el cual ciertas personas esperan ser atendidas en una cola de espera. Intentemos asociar este proceso de cola de espera con las siguientes características. El promedio de individuos que esperan ser atendidos en una hora pico, puede ser estimada con base en los datos disponibles observados con anterioridad.

1. Si se divide la hora pico en intervalos iguales a un segundo se afirma lo siguiente:
   1. La probabilidad que un individuo llegue exactamente en un segundo es muy pequeña y permanece constante para los demás intervalos de la hora pico.
   2. La probabilidad que dos o más individuos lleguen en un intervalo igual a un segundo es tan pequeña que se puede considerar igual a cero.
   3. El número de individuos que llegan en un intervalo de un segundo, es independiente del momento que éste se presente en la hora pico.
   4. El número de individuos que llegan en un segundo es independiente del número de individuos que llegan en cualquier otro segundo.

  
 Estas características son la base de la siguiente fórmula para determinar la probabilidad de ocurrencia según la distribución de Poisson:
 
    Donde:

• λ = Se define como el número de presentaciones por intervalo de tiempo, que para fines prácticos es la media aritmética de ocurrencia que hemos medido con anterioridad.
• x = la letra x (minúscula) define la variable discreta (es decir, un numero entero) que representa el número de ocurrencias del evento en cuestión.
• e = Número o constante e, igual a 2.718281828 que es la base de los logaritmos neperianos.

 

Ejemplo de cómo resolver un problema de llegadas utilizando la distribución de Poisson.

Se ha determinado que a la caja de un banco llegan en promedio 6 personas por minuto para ser atendidos en la hora pico. Se desea calcular la probabilidad que lleguen exactamente 0, 1, 2, 3, 4 o 5 personas.  

1. Utilizando Microsoft Excel calculamos la probabilidad para cada ocurrencia tomando el valor de lambda λ = 5.

 Nos vamos al icono de funciones y dentro de las funciones buscamos las funciones estadísticas.

Luego seleccionamos la opción Poisson, que devuelve el valor de la distribución de Poisson para un valor x de presentaciones y una media de ocurrencias.

[

Como argumentos, colocamos en x la cantidad de ocurrencias y en media, la media aritmética o promedio de ocurrencias calculadas previamente. En el espacio Acumulado es opcional colocar verdadero o falso. En este caso colocaremos FALSE (falso) pues no deseamos que los valores de la distribución se acumulen con los valores anteriores de x hasta llegar a cero.

2. Construimos una tabla de valores para las ocurrencias que deseamos averiguar.

 Siendo así, construimos una tabla de valores para las probabilidades de ocurrencias de 0, 1, 2, 3, 4 y 5.

 
Esta tabla de valores entendemos así:

• Siendo la media observada anteriormente de 6 personas por minuto que llegan a la caja, la probabilidad que lleguen x personas está dada por el valor de P(x) acumulado. O sea que esta columna se de valores se leería para P(3) de 0.1512 como la probabilidad que lleguen 3 personas o menos.
• Si deseáramos saber, por ejemplo, cual es la probabilidad que lleguen mas de 3 personas, restamos 1 de la probabilidad acumulada P(3) obteniendo 0.8488 lo cual es una probabilidad bastante alta.

Ahora bien, si construimos una tabla con mas valores de x entonces podemos construir una gráfica con los respectivos valores de x de ocurrencia posibles y su probabilidad asociada.

Se pudo fácilmente construir una tabla con mas valores, pero a medida que se hace mas grande x y se aleja de la media calculada x = 6 para este caso, la probabilidad tiende a ser menor.

 Siempre debemos tener claro que, la probabilidad de ocurrencia de los valores mayores que la media calculada siempre está presente pero se hace tan pequeña que se puede ir despreciando.